已知曲线C:y=x3-3x2,直线l:y=-2x(1)求曲线C与直线l围成的区域的面积;(2)求曲线y=x3-3x2(0≤x≤1)与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.-高二数学

题目简介

已知曲线C:y=x3-3x2,直线l:y=-2x(1)求曲线C与直线l围成的区域的面积;(2)求曲线y=x3-3x2(0≤x≤1)与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.-高二数学

题目详情

已知曲线C:y=x3-3x2,直线l:y=-2x
(1)求曲线C与直线l围成的区域的面积;
(2)求曲线y=x3-3x2(0≤x≤1)与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)联立y=x3-3x2与y=-2x得:x=0,1或2.
∴曲线C与直线l有三个交点.
y'=3x2-6x令y′=0得:x=0或x=2
∵当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,
y′>0,当x∈(0,2)时,y'<0,
∴曲线C大致形状如图所示.
∴S=
1
0
[x3-3x2-(-2x)]dx
+
2
1
(-2x-x3+3x2)dx
=class="stub"1
2

(2)由题意,旋转体的体积V=
1
0
π[(-2x)2-(x3-3x2)2]dx
=class="stub"41
105
π

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