首页 > 若函数f(x)=3+3cos2x2sin(π2-x)-2asinx2cos(π-x2)(a＞0)的最大值为2．（1）试确定常数a的值；（2）若f(α-π3)-4cosα=0，求cos2α+12sin2

若函数f(x)=3+3cos2x2sin(π2-x)-2asinx2cos(π-x2)(a＞0)的最大值为2．（1）试确定常数a的值；（2）若f(α-π3)-4cosα=0，求cos2α+12sin2

题目简介

若函数f(x)=3+3cos2x2sin(π2-x)-2asinx2cos(π-x2)(a＞0)的最大值为2．（1）试确定常数a的值；（2）若f(α-π3)-4cosα=0，求cos2α+12sin2

题目详情

若函数f(x)=
3
+
3
cos2x
2sin(
π
2
-x)
-2a sin
x
2
cos(π-
x
2
)(a＞0)的最大值为2．
（1）试确定常数a的值；
（2）若f(α-
π
3
)-4cosα=0，求
cos2α+
1
2
sin2α
sin2α-cos2α
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=
3
+
3
cos2x
2sin(class="stub"π
2
-x)
-2asinclass="stub"x
2
cos（π-class="stub"x
2
）
=
2
3
cos2x
2cosx
+asinx…3分
=
3
cosx+asinx（x≠kπ+class="stub"π
2
，k∈Z）…4分
=
a2+3
sin（x+φ）（其中tanφ=
3
a
），…5分
由题意可知
a2+3
=2
a＞0
，解得a=2…7分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（x+class="stub"π
3
），
∵f（α-class="stub"π
3
）-4cosα=0，
∴2sinα-4cosα=0，…8分
∴tanα=2，…10分
∴
cos2α+class="stub"1
2
sin2α
sin2α-cos2α

=
cos2α+sinαcosα
sin2α-cos2α

=class="stub"1+tanα
tan2α-1

=class="stub"1+2
22-1

=1…13分

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