设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2，（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜-1且x2＜-1；（3）若x1x2∈[110，10]，试求a的最大值．-

题目简介

设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求证：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若

∈[

，10]，试求a的最大值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2，
由韦达定理可得x1+2=-class="stub"1

，x1•x2=class="stub"1

，
（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1•x2=1-class="stub"1

+class="stub"1

=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函数f（x）=ax2+x+1图象的对称轴
x=-class="stub"1

＜-1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证；
（3）结合（1）的结论可得，-class="stub"1

∈[class="stub"1

，class="stub"10

]，
而a=class="stub"1

x1x2

=-[(-class="stub"1

)-class="stub"1

]2+class="stub"1

．
所以a的最大值为class="stub"1

．