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已知函数．（1）若在上恒成立，求m取值范围；（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn（）．-高二数学

题目简介

已知函数．（1）若在上恒成立，求m取值范围；（2）证明：2ln2+3ln3+…+nlnn（）．-高二数学

题目详情

已知函数

．
（1）若

在

上恒成立，求m取值范围；
（2）证明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn

（

）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解：令

在

上恒成立

4分
(1) 当

时，即

时

在

恒成立．

在其上递减．

原式成立．
当

即0<m<1时

不能恒成立．
综上：

9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx

令x=n

化简证得原不等式成立． 12分

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数证明不等式的恒成立问题，以及研究函数的最值的综合运用。
（1）因为若

在

上恒成立，求m取值范围；那么关键是求解函数的最小值恒大于等于零即可。
（2）由 (1) 取m=1有lnx

，利用放缩法得到

，然后求和证明结论。
解：令

在

上恒成立

4分
(1) 当

时，即

时

在

恒成立．

在其上递减．

原式成立．
当

即0<m<1时

不能恒成立．
综上：

9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx

令x=n

化简证得原不等式成立． 12分

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