设函数=（为自然对数的底数），，记．（1）为的导函数，判断函数的单调性，并加以证明；（2）若函数=0有两个零点，求实数的取值范围．-高三数学

题目简介

设函数

（

为自然对数的底数），

，记

．
（1）

为

的导函数，判断函数

的单调性，并加以证明；
（2）若函数

=0有两个零点，求实数

的取值范围．

题型：解答题难度：偏易来源：不详

（1）

在

上单调递增．（2）实数a的取值范围是（0，2）。

试题分析：（1）

，∴

，
令

，则

，
∴

在

上单调递增，即

在

上单调递增．
（2）由（1）知

在

上单调递增，而

，
∴

有唯一解

，

的变化情况如下表所示：

又∵函数

有两个零点，
∴方程

有两个根，即方程

有两个根
而

，

，
解得

．
所以，若函数

有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）
点评：中档题，利用导数研究函数单调区间，进一步判断函数零点情况，提供了解答此类问题的一般方法。