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已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立，求t的最大值

题目简介

已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立，求t的最大值

题目详情

已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤
1
4
与|f(m+1)|≤
1
4
同时成立，求t的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2-（a2-b）
∴①当a2-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a2-b＞0时，单调区间为：(-∞，-a-
a2-b
)减，
(-a-
a2-b
，-a)增，(-a，-a+
a2-b
)减，(-a+
a2-b
，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得|f(m)|≤class="stub"1
4
与|f(m+1)|≤class="stub"1
4
同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于class="stub"1
4
的两变量之间间隔不超过1，故须对a2-b和-class="stub"1
4
，class="stub"1
4
的大小分情况讨论
①当-class="stub"1
4
≤a2-b≤0时，由方程x2+2ax+b=class="stub"1
4
，解得x1，2=-a±
a2-b+class="stub"1
4
，
此时|x2-x1|=2
a2-b+class="stub"1
4
≤1，不满足．（8分）
②当class="stub"1
4
＞a2-b＞0时，由方程x2+2ax+b=class="stub"1
4
，解得x1，2=-a±
a2-b+class="stub"1
4

此时|x2-x1|=2
a2-b+class="stub"1
4
∈(1，
2
)，满足题意．（11分）
③当a2-b≥class="stub"1
4
时，由方程x2+2ax+b=class="stub"1
4
，方程x2+2ax+b=-class="stub"1
4
和解得x1，2=-a±
a2-b+class="stub"1
4
，x3，4=-a±
a2-b-class="stub"1
4

此时由于|x2-x1|=2
a2-b+class="stub"1
4
∈[
2
，+∞)，|x3-x1|=
a2-b+class="stub"1
4
-
a2-b-class="stub"1
4
=
class="stub"1
2
a2-b+class="stub"1
4
+
a2-b-class="stub"1
4
≤
2
4
＜1
所以只要|x3-x4|=2
a2-b-class="stub"1
4
≤1即可，此时a2-b≤class="stub"1
2
，综上所述t的最大值为class="stub"1
2
．（16分）

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