首页 > 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，且g(x)=f/(x)+f/(3)．（1

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，且g(x)=f/(x)+f/(3)．（1

题目简介

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，且g(x)=f/(x)+f/(3)．（1

题目详情

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
且g(x)=f/(x)+f/(
3
)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(x)＞
3
2
x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若数列{an}满足an+1=g（an），a1=2，（n∈N*），
试证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
7
8
题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（1）因为函数f（x）关于原点对称，所以b=d=0，所以f（x）=ax3+cx，
又有f′（x）=3ax2+c，又函数f（x）在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6，
所以a=class="stub"1
3
，c=-1即f(x)=class="stub"1
3
x3-x．

（2）f(x)＞class="stub"3
2
x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，即f(x)-class="stub"3
2
x2+3x＞a2+a，
即证class="stub"1
3
x3-class="stub"3
2
x2+2x＞a2+a在[0，2]上恒成立，
令h(x)=class="stub"1
3
x3-class="stub"3
2
x2+2x，则h′（x）=x2-3x+2，令h′（x）=x2-3x+2=0，
则x1=1，x2=2
则有当x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
所以h(0)=0，h(2)=class="stub"2
3
，
所以函数h（x）在[0，2]的最小值为0，所以有0＞a2+a，即-1＜a＜0

（3）g(x)=f/(x)+f/(
3
)=x2+1＞0，由an+1=g（an），a1=2，
所以an+1=an2+1＞an2＞0，
所以lnan+1＞2lnan＞22lnan-1＞＞2n-1ln2，
所以an＞22n-1，则有class="stub"1
an
＜class="stub"1
22n-1
，
所以class="stub"1
a1
+class="stub"1
a2
++class="stub"1
an
＜class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
24
++class="stub"1
22n-1
＜class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+class="stub"1
24
+class="stub"1
25
++class="stub"1
22n-1
-class="stub"1
23
＜
class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
2
)2n-1]
1-class="stub"1
2
-class="stub"1
23
＜1-(class="stub"1
2
)2n-1-class="stub"1
8
＜class="stub"7
8
（14分）

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