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> 已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,bn+1=bn1-an2an+bn=1.(1)求证:数列{1bn-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,bn+1=bn1-an2an+bn=1.(1)求证:数列{1bn-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4
题目简介
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,bn+1=bn1-an2an+bn=1.(1)求证:数列{1bn-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4
题目详情
已知数列{a
n
}、{b
n
}满足:
a
1
=
1
4
,
b
n+1
=
b
n
1-
a
n2
a
n
+b
n
=1.
(1)求证:数列{
1
b
n-1
}是等差数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)设s
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+a
3
a
4
+…a
n
a
n+1
,若4aS
n
<b
n
对于n∈N
*
恒成立,试求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)由an+bn=1,得bn=1-an,
依题意
b
n+1
=
b
n
1-
a
2n
=
1-
a
n
(1-
a
n
)(1+
a
n
)
=
class="stub"1
1+
a
n
∴
class="stub"1
b
n+1
-1
-
class="stub"1
b
n
-1
=
class="stub"1
class="stub"1
1+
a
n
-1
-
class="stub"1
1-
a
n
-1
=-
class="stub"1
a
n
-1+
class="stub"1
a
n
=-1
∵
a
1
=
class="stub"1
4
,∴
b
1
=
class="stub"3
4
,
class="stub"1
b
1
-1
=-4
,∴数列
{
class="stub"1
b
n
-1
}
是以-4为首项公差为-1的等差数列
(2)由(1)知
class="stub"1
b
n
-1
=-4+(n-1)(-1)=-n-3
,
则
b
n
=-
class="stub"1
n+3
+1=
class="stub"n+2
n+3
,
a
n
=1-
b
n
=1-
class="stub"n+2
n+3
=
class="stub"1
n+3
(3)Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
class="stub"1
4×5
+
class="stub"1
5×6
+
class="stub"1
(n+3)•(n+4)
=
class="stub"1
4
-
class="stub"1
5
+
class="stub"1
5
-
class="stub"1
6
+
class="stub"1
n+3
-
class="stub"1
n+4
=
class="stub"1
4
-
class="stub"1
n+4
=
class="stub"n
4(n+4)
∴4aSn-bn=
class="stub"an
n+4
-
class="stub"n+2
n+3
=
(a-1)
n
2
+(3a-6)n-8
(n+3)(n+4)
依题意可知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立,令f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8
当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立
当a>1时,由二次函数性质知f(n)<0不可能成立
当a<1时,此二次函数的对称轴为
x=-
class="stub"3a-6
2(a-1)
=-
class="stub"3
2
(1-
class="stub"1
a-1
)<0
则f(n)在n∈N*上是单调递减,∴要使f(n)<0对n∈N*恒成立
必须且只须f(1)<0即4a-15<0,∴
a<
class="stub"15
4
,又a<1∴a<1
综上a≤1,4aSn≤bn对于n∈N*恒成立.
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题目简介
已知数列{an}、{bn}满足:a1=14,bn+1=bn1-an2an+bn=1.(1)求证:数列{1bn-1}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4
题目详情
(1)求证:数列{
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设sn=a1a2+a2a3+a3a4+…anan+1,若4aSn<bn对于n∈N*恒成立,试求实数a的取值范围.
答案
依题意bn+1=
(2)由(1)知
则bn=-
(3)Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=
依题意可知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立,令f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8
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