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已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax(a＜-12)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．（I）求实数a的值；（II）设b≠0，函数g

题目简介

已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax(a＜-12)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．（I）求实数a的值；（II）设b≠0，函数g

题目详情

已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax(a＜-
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)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（I）求实数a的值；
（II）设b≠0，函数g(x)=
1
3
bx3-bx，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0，求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：沈阳二模

答案

（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，
设x∈（-4，-2），则x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以f′(x)=class="stub"4
x+4
+4a＞0，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵a＜-class="stub"1
2
，
∴f(x)max=f(-class="stub"1
a
-4)=4ln(-class="stub"1
a
)+4a•(-class="stub"1
a
)=-4．
又由a＜-class="stub"1
2
，可得-4＜-class="stub"1
a
-4＜-2，
∴f（x）在(-4，-class="stub"1
a
-4)上是增函数，在(-class="stub"1
a
-4，-2)上是减函数，
∴f(x)max=f(-class="stub"1
a
-4)=4ln(-class="stub"1
a
)+4a•(-class="stub"1
a
)=-4．
∴a=-1（7分）

（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx-x，f′(x)=class="stub"1
x
-1=class="stub"1-x
x
，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx2-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B=(class="stub"2
3
b，-class="stub"2
3
b)，
为满足A⊆B，又-class="stub"2
3
b≥0＞-1.
∴class="stub"2
3
b≤ln2-2.即b≤class="stub"3
2
ln2-3．（11分）
（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B=(-class="stub"2
3
b，class="stub"2
3
b)，为满足A⊆B，
又，∴-class="stub"2
3
b≤ln2-2，
∴b≥-class="stub"3
2
(ln2-2)=3-class="stub"3
2
ln2，
综上可知b的取值范围是(-∞，class="stub"3
2
ln2-3]∪[3-class="stub"3
2
ln2，+∞)（12分）

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