首页 > 设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(12)=-1．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(12)=-1．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函

题目简介

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(12)=-1．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函

题目详情

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(
1
2
)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(
p
x-4
)，其中p＞-1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=class="stub"1
2
，则 f(1)=f(2×class="stub"1
2
)=f(2)+f(class="stub"1
2
)，
∴f（2）=1（4分）
（2）设0＜x1＜x2，则
x2
x1
＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(
x2
x1
)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又f(x)≥2+f(class="stub"p
x-4
)
可化为：f(x)≥f(class="stub"4p
x-4
)
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
原不等式可化为：
x≥class="stub"4p
x-4
class="stub"4p
x-4
＞0

当p＞0时，解之得：4＜x≤2+2
1+p
．
当-1＜p＜0时，解之得：2-2
1+p
≤x≤2+2
1+p
．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网