首页 > 定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(x+y1+xy)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(x+y1+xy)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由

题目简介

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(x+y1+xy)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由

题目详情

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f(
x+y
1+xy
)；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若f(
1
7
)=
1
3
，试求f(
2
3
)-f(
1
9
)-2f(
1
17
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
x2-x1
1-x1x2
)
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴
x2-x1
1-x1x2
＞0，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即1-x1x2＞x2-x1∴
x2-x1
1-x1x2
＜1
∴0＜
x2-x1
1-x1x2
＜1，
所以f(
x2-x1
1-x1x2
)＞0．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于f(class="stub"2
3
)-f(class="stub"1
7
)=f(class="stub"11
19
)即f(class="stub"2
3
)=f(class="stub"1
7
)+f(class="stub"11
19
)
∵f(class="stub"1
9
)+f(class="stub"1
7
)=f(class="stub"1
4
)即-f(class="stub"1
9
)=f(class="stub"1
7
)-f(class="stub"1
4
)
∵f(class="stub"1
17
)+f(class="stub"1
7
)=f(class="stub"1
5
)即-2f(class="stub"1
17
)=2f(class="stub"1
7
)-2f(class="stub"1
5
)
又∵f(class="stub"1
4
)+f(class="stub"1
5
)+f(class="stub"1
5
)=f(class="stub"3
7
)+f(class="stub"1
5
)=f(class="stub"11
19
)
∴f(class="stub"2
3
)-f(class="stub"1
9
)-2f(class="stub"1
17
)=f(class="stub"1
7
)+f(class="stub"1
19
)+f(class="stub"1
7
)-f(class="stub"1
4
)+2f(class="stub"1
7
)-2f(class="stub"1
5
)
∴f(class="stub"2
3
)-f(class="stub"1
9
)-2f(class="stub"1
17
)=4f(class="stub"1
7
)=class="stub"4
3
（14分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网