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已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；（2）若n∈N*，证明：(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n＜ee-1-数学

题目简介

已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；（2）若n∈N*，证明：(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n＜ee-1-数学

题目详情

已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N*，证明：(
1
n
)n+(
2
n
)n+…+(
n-1
n
)n+(
n
n
)n＜
e
e-1
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）∵f（x）=ex-x，∴f'（x）=ex-1．令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有最小值1
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有ex-x≥1，即1+x≤ex．
令x=-class="stub"k
n
（n∈N*，k=1，2，，n-1），则0＜1-class="stub"k
n
≤e-class="stub"k
n
，
∴(1-class="stub"k
n
)n≤(e- class="stub"k
n
)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(class="stub"n-k
n
)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(class="stub"n
n
)n=1，
∴(class="stub"1
n
)n+(class="stub"2
n
)n++(class="stub"n-1
n
)n+(class="stub"n
n
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-2+e-1+1=
1-e-n
1-e-1
＜class="stub"1
1-e-1
=class="stub"e
e-1
，
∴(class="stub"1
n
)n+(class="stub"2
n
)n++(class="stub"n-1
n
)n+(class="stub"n
n
)n＜class="stub"e
e-1
．

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