已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2(Ⅰ)证明:(1+x1)(1+x2)=1;(Ⅱ)证明:x1<-1,x2<-1;(Ⅲ)若x1,x2满足lgx1x2∈[-1,1],试

题目简介

已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2(Ⅰ)证明:(1+x1)(1+x2)=1;(Ⅱ)证明:x1<-1,x2<-1;(Ⅲ)若x1,x2满足lgx1x2∈[-1,1],试

题目详情

已知函数f(x)=ax2+x+1(a>0)的两个不同的零点为x1,x2
(Ⅰ)证明:(1+x1)(1+x2)=1;
(Ⅱ)证明:x1<-1,x2<-1;
(Ⅲ)若x1,x2满足lg
x1
x2
∈[-1,1]
,试求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由题意知,x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根,
∴x1+x2=-class="stub"1
a
,x1x2=class="stub"1
a
.∴x1+x2=-x1x2
∴(1+x1)(1+x2)①(3分)
(Ⅱ)证明:由于关于x一元二次方程ax2+x+1=0有两个不等实数根x1,x2,
故有a>0且△=1-4a>0∴0<a<class="stub"1
4
(4分)
x1+x2=-class="stub"1
a
<-4
x1x2=class="stub"1
a
>4
(5分)
(x1+1)+(x2+1)≤-2<0
(x1+1)(x2+1)=1>0
x1+1<0
x2+1<0
即x1<-1,x2<-1得证.(6分)
(Ⅲ)由lg
x1
x2
∈[-1,1]
class="stub"1
10
x1
x2
≤10,由①得x1=class="stub"1
1+x2
-1=-
x2
1+x2

x1
x2
=-class="stub"1
1+x2
.∴class="stub"1
10
-class="stub"1
1+x2
≤10,∴class="stub"1
11
-class="stub"1
x2
class="stub"10
11
(7分)
a=class="stub"1
x1x2
=-
1+x2
x22
=-(-class="stub"1
x2
)2
+(-class="stub"1
x2
)=-[(-class="stub"1
x2
)-class="stub"1
2
]2
+class="stub"1
4
,(8分)
-class="stub"1
x2
=-class="stub"1
2
时,a取最大值为class="stub"1
4

-class="stub"1
x2
=-class="stub"1
11
-class="stub"1
x2
=-class="stub"10
11
时,a取最小值class="stub"10
121
;(10分)
又因为0<a<class="stub"1
4
,故a的取值范围是[class="stub"10
121
,class="stub"1
4
)
(12分)

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