已知函数f(x)=(1ax-1+12)x2+bx+6(a,b为常数,a>1),且f(lglog81000)=8,则f(lglg2)的值是______.-高三数学

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已知函数f(x)=(1ax-1+12)x2+bx+6(a,b为常数,a>1),且f(lglog81000)=8,则f(lglg2)的值是______.-高三数学

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已知函数f(x)=(
1
ax-1
+
1
2
)x2+bx+6(a,b为常数,a>1)
,且f(lglog81000)=8,则f(lglg2)的值是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

∵函数f(x)=(class="stub"1
ax-1
+class="stub"1
2
)x2+bx+6(a,b为常数,a>1)

∴f(x)-6=(class="stub"1
ax-1
+class="stub"1
2
)x2+bx,
构造函数F(x)=f(x)-6=(class="stub"1
ax-1
+class="stub"1
2
)x2+bx=
2+ax-1
2(ax-1)
x2+bx=
ax+1
2(ax-1)
x2+bx,
则F(-x)=
1+ax
2(1-ax)
x2-bx
=-[
ax+1
2(ax-1)
x2+bx]=-F(x),
∴函数F(x)是奇函数.
∵lglog81000=lg(class="stub"lg1000
lg8
)=lg(class="stub"3
3lg2
)=lg(class="stub"1
lg2
)-lg(lg2),
∴f(lglog81000)=f(-lg(lg2))=8,
∵函数F(x)=f(x)-6是奇函数.
∴F(-lg(lg2))=-F(lg(lg2)),
即f(-lg(lg2))-6=-[f(lg(lg2))-6],
∴8-6=-f(lg(lg2))+6,
即f(lg(lg2))=4,
故答案为:4.

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