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某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：类别A类B类C类D类顾客数-数学

题目简介

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：类别A类B类C类D类顾客数-数学

题目详情

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：
类别A类B类C类D类
顾客数（人）20304010
时间t（分钟/人）2346
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下：
 Y2  3 46 
 P class="stub"1
5
 class="stub"3
10
class="stub"2
5
 		class="stub"1
10
 
用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
①办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟；
②办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟；
∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=class="stub"1
5
×class="stub"3
10
+class="stub"3
10
×class="stub"1
5
=class="stub"3
25
；
（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，
X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y＞4）=class="stub"1
10
，
X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，
或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，
故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=class="stub"1
5
×class="stub"4
5
+class="stub"3
10
+class="stub"2
5
=class="stub"43
50
，
X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=class="stub"1
5
×class="stub"1
5
=class="stub"1
25
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 
 Pclass="stub"1
10
 		 class="stub"43
50
class="stub"1
25
 
故EX=0×class="stub"1
10
+1×class="stub"43
50
+2×class="stub"1
25
=class="stub"47
50

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