已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn•Sn-1(n≥2,Sn≠0),a1=29.(Ⅰ)求证:数列{1Sn}为等差数列;(Ⅱ)求满足an<0的自然数n的集合.-高二数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn•Sn-1(n≥2,Sn≠0),a1=29.(Ⅰ)求证:数列{1Sn}为等差数列;(Ⅱ)求满足an<0的自然数n的集合.-高二数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=SnSn-1(n≥2,Sn≠0),a1=
2
9

(Ⅰ)求证:数列{
1
Sn
}
为等差数列;
(Ⅱ)求满足an<0的自然数n的集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:∵Sn-Sn-1=an,an=Sn•Sn-1
class="stub"1
Sn
-class="stub"1
Sn-1
=
Sn-1-Sn
SnSn-1
=-1∵S1=a1=class="stub"2
9

∴所以数列{class="stub"1
Sn
}
是公差为-1,首项为class="stub"2
9
的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,class="stub"1
Sn
=-n+class="stub"11
9
=class="stub"11-9n
9

Sn=class="stub"9
11-9n

an=SnSn-1=class="stub"81
(11-9n)(20-9n)

令an<0,即class="stub"81
(11-9n)(20-9n)
<0

class="stub"11
9
<n<class="stub"20
9

∴n=2
∴解集为:{2}

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