(1)已知:如图①RT△ABC中,∠ACB=90°,ED垂直平分AC交AB与D,求证:DA=DB=DC。(2)利用上面小题的结论,继续研究:如图②,点P是△FHG的边HG上的一个动点,PM⊥FH于M,

题目简介

(1)已知:如图①RT△ABC中,∠ACB=90°,ED垂直平分AC交AB与D,求证:DA=DB=DC。(2)利用上面小题的结论,继续研究:如图②,点P是△FHG的边HG上的一个动点,PM⊥FH于M,

题目详情

(1)已知:如图①RT△ABC中,∠ACB=90°,ED垂直平分AC交AB与D,求证: DA=DB=DC。
(2)利用上面小题的结论,继续研究:如图②,点P是△FHG的边HG上的一个动点,PM⊥FH于M,PN⊥FG于N,FP与MN交于点K.当P运动到某处时,MN与FP正好互相垂直,请问此时FP平分∠HFG吗?请说明理由。
题型:证明题难度:偏难来源:广东省期中题

答案

证明:作DF⊥BC于F,得∠DFB=∠DFC=90°
又∵∠ACB=90°, ∴DF∥AC
∴∠CDF=∠ECD,∠FDB=∠A
∵ED垂直平分AC, ∴DA=DC
∴∠ECD =∠A, ∴∠CDF=∠FDB
∴△DFB≌△DFC
∴DA=DB=DC
解:FP平分∠HFG,
证明:  ∵PM⊥FH,PN⊥FG, ∴△MPF和△NPF都是直角三角形
作线段MF的垂直平分线交FP于点O,由(1)中所证可知OF=OP=OM
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O
∴OM=OP=OF=ON
又∵MN⊥FP, ∴∠OKM=∠OKN
∴PT△OKM≌RT△OKN; ∴MK=NK
∴△FKM≌△FKN; ∴∠MFK=∠NFK

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