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定义在区间[-23π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=π6对称，当x∈[-23π，π6]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=

题目简介

定义在区间[-23π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=π6对称，当x∈[-23π，π6]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=

题目详情

定义在区间[-
2
3
π，π]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
π
6
对称，当x∈[-
2
3
π，
π
6
]时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如图所示．

（Ⅰ）求函数y=f（x）在[-
2
3
π，π]的表达式；
（Ⅱ）求方程f（x）=
2
的解；
（Ⅲ）是否存在常数m的值，使得|f（x）-m|＜2在x∈[-
2π
3
，π]上恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）x∈[-class="stub"2π
3
，class="stub"π
6
]，A=2，class="stub"T
4
=-class="stub"π
6
-(-class="stub"2π
3
)，∴T=2π，ω=1，
且f（x）=2sin（x+φ）过（-class="stub"π
6
，2），
∵0＜φ＜π，∴-class="stub"π
6
+φ=class="stub"π
2
，φ=class="stub"2π
3
，
f（x）=2sin（x+class="stub"2π
3
），
当class="stub"π
6
≤x≤π时，-class="stub"2π
3
≤class="stub"π
3
-x≤class="stub"π
6
，f（class="stub"π
3
-x）=2sin（class="stub"π
3
-x+class="stub"2π
3
）=2sin（π-x）=2sinx，
而函数y=f（x）的图象关于直线x=class="stub"π
6
对称，则f（x）=f（class="stub"π
3
-x），即f（x）=2sinx，class="stub"π
6
≤x≤π，
∴f（x）=
2sin(x+class="stub"2π
3
)，x∈[-class="stub"2π
3
，class="stub"π
6
]
2sinx，x∈[class="stub"π
6
，π]
；
（Ⅱ）当-class="stub"2π
3
≤x≤class="stub"π
6
时，f（x）=2sin（x+class="stub"2π
3
）=
2
，sin（x+class="stub"2π
3
）=
2
2
，
∴x+class="stub"2π
3
=class="stub"π
4
或class="stub"3π
4
，即x=-class="stub"5π
12
或class="stub"π
12
，
当class="stub"π
6
≤x≤π时，f（x）=2sinx=
2
，sinx=
2
2
，∴x=class="stub"π
4
或class="stub"3π
4
，
∴方程f（x）=
2
的解集是{-class="stub"5π
12
，class="stub"π
12
，class="stub"π
4
，class="stub"3π
4
}，
（Ⅲ）存在，假设存在，由条件得：m-2＜f（x）＜m+2在x∈[-class="stub"2π
3
，π]上恒成立，
即
x∈[-class="stub"2π
3
，π]
[f(x)]min＞m-2
[f(x)]max＜m+2
，
由图象可得：
m-2＜0
m+2＞2
，解得0＜m＜2．

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