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已知△ABC的周长为6，且3cosA+B2=sinC．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．-数学

题目简介

已知△ABC的周长为6，且3cosA+B2=sinC．（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．-数学

题目详情

已知△ABC的周长为6，且
3
cos
A+B
2
=sinC．
（1）求角C；
（2）求△ABC面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）
3
cosclass="stub"A+B
2
=
3
cosclass="stub"π-C
2
=
3
sinclass="stub"C
2
=2sinclass="stub"C
2
cosclass="stub"C
2
…（2分）
因为0＜C＜π，所以sinclass="stub"C
2
≠0，则cosclass="stub"C
2
=
3
2
…（3分）
所以class="stub"C
2
=class="stub"π
6
，即C=class="stub"π
3
…（5分）
（2）c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab，…（6分）
又c=6-a-b，则a2+b2-ab=（6-a-b）2=36+a2+b2-12a-12b+2ab（7分）
整理可得，4（a+b）=12+ab…（8分）
12+ab=4(a+b)≥4×2
ab
=8
ab

所以ab-8
ab
+12≥0…（9分）
则
ab
≤2或
ab
≥6，…（10分）
若
ab
≥6，则ab≥36，那么4（a+b）=12+ab≥48，即a+b≥12，这与周长为6相矛盾，应舍去，
因此，
ab
≤2，则ab≤4…（12分）
所以S△ABC=class="stub"1
2
absinC=
3
4
ab≤
3
…（14分）
当且仅当a=b=c=2时等号成立，
所以，△ABC的面积有最小值为
3
…（15分）

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