首页 > 在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(π4+x2)+3cos2x-2cosx．（1）若f（B）=2，求角B；（2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围；（3）求f(π

在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(π4+x2)+3cos2x-2cosx．（1）若f（B）=2，求角B；（2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围；（3）求f(π

题目简介

在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(π4+x2)+3cos2x-2cosx．（1）若f（B）=2，求角B；（2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围；（3）求f(π

题目详情

在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(
π
4
+
x
2
)+
3
cos2x-2cosx．
（1）若f（B）=2，求角B；
（2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围；
（3）求f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)+…+f(
2003π
4
)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵sin2(class="stub"π
4
+class="stub"x
2
)=
1-cos(class="stub"π
2
+x)
2
=class="stub"1+sinx
2
，
∴f（x）=4cosx×class="stub"1+sinx
2
+
3
cos2x-2cosx
=2cosx+sin2x+
3
cos2x-2cosx
=2sin(2x+class="stub"π
3
)．
∵f（B）=2，∴2sin(2B+class="stub"π
3
)=2，∴sin(2B+class="stub"π
3
)=1．
∵0＜B＜π，∴class="stub"π
3
＜2B+class="stub"π
3
＜2π+class="stub"π
3
，
∴2B+class="stub"π
3
=class="stub"π
2
，解得B=class="stub"π
12
．
（2）由（1）可知：f（B）∈[-2，2]，
∵f（B）-m＞2有解，∴2+m＜[f（B）]max，∴2+m＜2，解得m＜0．
∴m的取值范围是（-∞，0）．
（3）∵f（x）的周期是π，且f(class="stub"π
4
)+f(class="stub"2π
4
)+f(class="stub"3π
4
)+f(π)=2[sin(class="stub"π
2
+class="stub"π
3
)+sin(π+class="stub"π
3
)+sin(class="stub"3π
2
+class="stub"π
3
)+sin(2π+class="stub"π
3
)]
=2[cosclass="stub"π
3
-sinclass="stub"π
3
-cosclass="stub"π
3
+sinclass="stub"π
3
]=0．
∴f(class="stub"π
4
)+f(class="stub"2π
4
)+f(class="stub"3π
4
)+…+f(class="stub"2003π
4
)
=500×4×0+f(class="stub"2001π
4
)+f(class="stub"2002π
4
)+f(class="stub"2003π
4
)=f(class="stub"π
4
)+f(class="stub"2π
4
)+f(class="stub"3π
4
)
=2×(-sinclass="stub"π
3
)=-
3
．

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