己知函数f(x)=4sin2(π4+x)-23cos2x-1,且给定条件P:x<π4或x>π2,(1)求¬P的条件下,求f(x)的最值;(2)若条件q:-2<f(x)-m<2,且¬p是q的充分条件,求

题目简介

己知函数f(x)=4sin2(π4+x)-23cos2x-1,且给定条件P:x<π4或x>π2,(1)求¬P的条件下,求f(x)的最值;(2)若条件q:-2<f(x)-m<2,且¬p是q的充分条件,求

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己知函数f(x)=4sin2(
π
4
+x)-2
3
cos2x-1
,且给定条件P:x<
π
4
x>
π
2

(1)求¬P的条件下,求f(x)的最值;
(2)若条件q:-2<f(x)-m<2,且¬p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=4sin2(class="stub"π
4
+x)-2
3
cos2x-1

=4×
1-cos(class="stub"π
2
+2x)
2
-2
3
cos2x-1
=2sin2x-2
3
cos2x+1
=4sin(2x-class="stub"π
3
)+1;
∵条件P:x<class="stub"π
4
x>class="stub"π
2

∴¬P:class="stub"π
4
≤x≤class="stub"π
2

class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
class="stub"2π
3

class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
3
)≤1,
∴3≤4sin(2x-class="stub"π
3
)+1≤5.
∴f(x)的最大值为为5,f(x)的最小值为3;
(2)∵条件q:-2<f(x)-m<2,
∴m-2<f(x)<2+m,
又,¬p是q的充分条件,而¬p条件下,3≤f(x)=4sin(2x-class="stub"π
3
)+1≤5,
∴[3,5]⊆(m-2,m+2),
m-2<3
m+2>5
解得:3<m<5.

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