已知z为虚数，且|2z+15|=3|z+10|．（1）求|z|；（2）设u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；（3）若z2+2.z为实数，且z恰好为实系数方程x

题目简介

已知z为虚数，且|2z+15|=

|z+10|．
（1）求|z|；（2）设u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，求复数z；（3）若z²+2

为实数，且z恰好为实系数方程x²+px+q=0的两根，试写出此方程．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，则有|2m+15+2yi|=

|x+10+yi|，
∴（2m+15）2+4n2=3（m+10）2+3n2，化简可得 m2+n2=75．
∴|z|=

．
（2）∵u=（3-i）z，若u在复平面上的对应点在第二、四象限的角平分线上，
∴u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，∴

m=-2n

m2+n2=75

．
∴

m=2

n =-

或

m=-2

n =

．∴z=2

i，z=-2

i．
（3）∵z2 +2

=m2-n2+2m+2n（m-1）i 为实数，∴2n（m-1）=0，由n≠0可得 m=1．
又m2+n2=75，∴n=±

．
∴z=1+

i，或 z=1-

i．
由 z恰好为实系数方程x2+px+q=0的两根，利用根与系数的关系可得-p=1+

i+1-

i=2，
q=（1+

i ）（1-

i ）=75，故要求的方程为：x2-2x+75=0．