(1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．-高二数学

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(1)求证：2ⁿ^＋2·3ⁿ＋5n－4能被25整除；
(2)求证：1＋3＋3²＋…＋3³ⁿ^－1能被26整除(n为大于1的偶数)．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

(1)见解析 (2)见解析

证明：(1)原式＝4(5＋1)n＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋Cn25n－2＋…＋Cnn)＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋…＋C nn-2·52＋C nn-1·51＋1)＋5n－4
＝4(C n05n＋C n15n－1＋…＋C nn-2·52)＋25n，
以上各项均为25的整数倍，故得证．
(2)因为1＋3＋32＋…＋33n－1＝

＝

(33n－1)
＝

(27n－1)＝

[(26＋1)n－1]．
而(26＋1)n－1＝C n026n＋C n126n－1＋…＋C nn-126＋Cnn260－1
＝Cn026n＋Cn126n－1＋…＋Cnn-126
因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．

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(1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除；(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．-高二数学

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