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（本小题满分12分）设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）-数学

题目简介

（本小题满分12分）设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）-数学

题目详情

（本小题满分12分）设数列

、

、

满足：

，

（n=1，2，3，…），证明：

为等差数列的充分必要条件是

为等差数列且

（n=1，2，3，…）

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

见解析

必要性：设数列

是公差为

的等差数列，则：

=

=

－

=0，
∴

（n=1，2，3，…）成立；
又

=6

（常数）（n=1，2，3，…）
∴数列

为等差数列.

充分性：设数列

是公差为

的等差数列，且

（n=1，2，3，…），
∵

……① ∴

……②
①－②得：

=

∵

∴

……③ 从而有

……④
④－③得：

……⑤
∵

，

，

，
∴由⑤得：

（n=1，2，3，…），
由此，不妨设

（n=1，2，3，…），则

（常数）
故

……⑥
从而

……⑦
⑦－⑥得：

，
故

（常数）（n=1，2，3，…），
∴数列

为等差数列.
综上所述：

为等差数列的充分必要条件是

为等差数列且

（n=1，2，3，…）.

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