如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.

题目简介

如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.

题目详情

如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
题型:解答题难度:中档来源:四川省期末题

答案

解:(1)因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高.所以AC⊥PH,
又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD内,且PH∩BD=H.
所以AC⊥平面PBD.
故平面PAC⊥平面PBD
(2)因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB= .所以HA=HB= .
因为∠APB=∠ADB=60° 所以PA=PB= ,HD=HC=1.可得PH= .
等腰梯形ABCD的面积为S= ACxBD=2+ 
所以四棱锥的体积为V= ×(2+ )× = . 

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