如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)若E,F分别为AB,AC的中点,求证:EF∥平面BDC;(2)证明:平面ADB

题目简介

如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)若E,F分别为AB,AC的中点,求证:EF∥平面BDC;(2)证明:平面ADB

题目详情

如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使
∠BDC=90°.
(1)若E,F分别为 AB,AC的中点,求证:EF∥平面BDC;
(2)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(3 )设BD=1,求三棱锥D﹣ABC的表面积.
题型:解答题难度:中档来源:江苏同步题

答案

解:(1)在右图中,因为△ABC中,E、F分别为 AB、AC的中点,.
∴EF∥BC
∵EF平面BDC,BC平面BDC,
∴EF∥平面BDC;
(2)∵左图中,AD是等腰Rt△ABC斜边BC的中线
∴CD⊥AD,在右图中依然成立
又∵右图中,CD⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CD⊥平面ADB
∵CD平面BDC,
∴平面ADB⊥平面BDC;
(3)由(2)知,AD、BD、CD两两垂直
∵BD=1,
∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面积S△ADC= ×AD×CD= ,
同理可得S△BDC=S△ABD= 
∵Rt△ADC中,AC= ,
同理可得AB=BC= 
∴△ABC是边长为 的等边三角形,
面积为S△ABC= = 
由此可得三棱锥D﹣ABC的表面积为:S△ADC+S△BDC+S△ABD+S△ABC= .  

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