已知:如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2.(Ⅰ)求证:平面PDC⊥平面PAD;(Ⅱ)若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;(

题目简介

已知:如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2.(Ⅰ)求证:平面PDC⊥平面PAD;(Ⅱ)若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;(

题目详情

已知:如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,BC=2.
(Ⅰ)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;
(Ⅲ)在BC边上是否存在一点G,使得D点到平面PAG的距离为1?若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:湖南省月考题

答案

(Ⅰ)证明:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD.
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD平面PDC,
∴平面PDC⊥平面PAD.
(Ⅱ)解:设CD的中点为F,连接EF、AF.
∵E是PD中点,
∴EF∥PC.
∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角.
由PA=AB=1,BC=2,计算得


∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为
(Ⅲ)解:假设在BC边上存在点G,使得点D到平面PAG的距离为1.
设BG=x,过点D作DM⊥AG于M.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DM,PA∩AG=A.
∴DM⊥平面PAG.
∴线段DM的长是点D到平面PAG的距离,即DM=1.
,解得
所以,存在点G且当时,使得点D到平面PAG的距离为1.

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