如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,tan∠DAC=34.现沿对角线BD把△ABD折起,使∠ADC的余弦值为925.(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面CBD;(Ⅱ)若M是AB的中点

题目简介

如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,tan∠DAC=34.现沿对角线BD把△ABD折起,使∠ADC的余弦值为925.(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面CBD;(Ⅱ)若M是AB的中点

题目详情

如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,tan∠DAC=
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4
.现沿对角线BD把△ABD折起,使∠ADC的余弦值为
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(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(Ⅱ)若M是AB的中点,求AC与平面MCD所成角的一个三角函数值.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:汕头二模

答案


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(Ⅰ)证明:菱形ABCD中,tan∠DAC=class="stub"3
4
,AD=10,
∴OA=8,OD=6                    …(1分)
翻折后变成三棱椎A-BCD,在△ACD中,
AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC
       =100+100-2×10×10×class="stub"9
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=128
,…(3分)
在△AOC中,OA2+OC2=128=AC2,…(4分)
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,
∴AO⊥平面BCD,
又AO⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面CBD.                    …(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知OA,OC,OD两两互相垂直,分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系,则A(0,0,8),B(0,-6,0),C(8,0,0)D(0,6,0)M(0,-3,4),…(7分)
MC
=(8,3,-4),  
DC
=(8,-6,0)
AC
=(8,0,-8)
,…(8分)
设平面MCD的一个法向量为
n
=(x,y,z)
,则由
n
MC
=0
n
DC
=0
,得
8x+3y-4z=0
8x-6y=0
,…(10分)
令y=4,有
n
=(3,4,9)
,…(11分)
设AC与平面MCD所成角为θ,则cosθ=|cos<
AC
n
>|=|class="stub"24-72
106
128
|=class="stub"3
53
53
,…(13分)
∴AC与平面MCD所成角的余弦值为class="stub"3
53
53
,…(14分)

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