在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA。(1)求证:平面EFG⊥平面PDC;(2)求三棱锥P-MAB

题目简介

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA。(1)求证:平面EFG⊥平面PDC;(2)求三棱锥P-MAB

题目详情

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA。
(1)求证:平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比。
题型:解答题难度:中档来源:专项题

答案

解:(1)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
所以PD⊥平面ABCD
又BC平面ABCD,
所以PD⊥BC
因为四边形ABCD为正方形,
所以BC⊥DC
又PD∩DC=D,
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中,因为C,F分别为PB,PC的中点,
所以GF∥BC,
因此GF⊥平面PDC
又GF平面EFG,
所以平面EFC⊥平面PDC。
(2)因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,
不妨设MA=1,则PD=AD=2
所以S正方形ABCD·PD=
由于DA⊥面MAB,且PD∥MA,
所以DA即为点P到平面MAB的距离,
三棱锥VP-MAB=
所以VP-MAB:VP-ABCD=1:4。

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