如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<),(Ⅰ)求MN的长;(Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小;(

题目简介

如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<),(Ⅰ)求MN的长;(Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小;(

题目详情

如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<),
(Ⅰ)求MN的长;
(Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小;
(Ⅲ)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

解:(Ⅰ)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ,
依题意可得MP∥NQ,且MP=NQ,
即MNQP是平行四边形,
∴MN=PQ,
由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴AC=BF=


(Ⅱ)由(Ⅰ),
所以,当a=时,MN=
即M、N分别移动到AC、BF的中点时,
MN的长最小,最小值为
(Ⅲ)取MN的中点G,连结AG、BG,
∵AM=AN,BM=BN,G为MN的中点,
∴AG⊥MN,BG⊥MN,∠AGB即为二面角α的平面角,
又AG=BG=
所以,由余弦定理有
故所求二面角

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