如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上，(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心；

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如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上，
(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)证明：线段PC的中点为球O的球心；
(3)若球O的表面积为20π，求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

题型：解答题难度：中档来源：模拟题

答案

(1)证明：∵AC=BC，M为AB的中点，
∴CM⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，CM平面ABC，
∴PA⊥CM，
∵AB∩PA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，
∴CM⊥平面PAB，
∵CM平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM。

(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB，
∵PM平面PAB，
∴CM⊥PM，
∵PA⊥平面ABC，AC平面ABC，
∴PA⊥AC，
如图(1)，取PC的中点N，连接MN、AN，
在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点，
∴AN=PN=NC，
在Rt△PMC中，点N为斜边PC的中点，
∴MN=PN=NC，
∴PN=NC=AN=MN，
∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．
(3)解：依题意得4π·NC2=20π，解得，
∴，
作MD⊥PB，垂足为D，连接CD，
由(1)知CM⊥平面PAB，
∵PB平面PAB，
∴PB⊥CM，
又MD∩MC=M，∴PB⊥平面CMD，
∵CD平面CMD，
∴CD⊥PB，
∴∠CDM是二面角A-PB-C的平面角，
在Rt△PAB和Rt△MDB中，
，
∴，
在Rt△CMD中，，
∴，
∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值是。

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如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上，(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心；

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