首页 > 如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，点E，点F分别是PC，AP的中点．（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，点E，点F分别是PC，AP的中点．（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3

题目简介

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，点E，点F分别是PC，AP的中点．（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3

题目详情

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4
2
，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：杭州二模

答案

（1）∵PB⊥平面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC，
又∵AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC
∴侧面PAC⊥侧面PBC．（4分）
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
由条件可得：
P(0，0，4
2
)，B(0，0，0)，C(0，-4
2
，0)，A(4
2
，-4
2
，0)
则E(0，-2
2
，2
2
)，F(2
2
，-2
2
，2
2
)
AE
=(-4
2
，2
2
，2
2
)，
BF
=(2
2
，-2
2
，2
2
)，
∴
AE
•
BF
=-16，|
AE
|•|
BF
|=24
2
，

∴cos＜
AE
，
BF
＞=-
2
3
，
∴AE与BF所成的角是arccos
2
3
(4分)

（3）平面EFB的法向量
a
=（0，1，1）
平面ABE的法向量为
b
=（1，1，1）
cos＜
a
，
b
＞=
6
3
，
∴二面角A-BE-F的平面角为arccos
6
3
．（4分）

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