如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=CD=1,AB=3,E、F分别为AC、AD的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面ABC;(2)求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.-高二

题目简介

如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=CD=1,AB=3,E、F分别为AC、AD的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面ABC;(2)求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.-高二

题目详情

如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=CD=1,AB=
3
,E、F
分别为AC、AD的中点.
(1)求证:平面BEF⊥平面ABC;
(2)求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵AB⊥平面BCD,
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BC,
∴CD⊥平面ABC.
∵E、F分别为AC、AD的中点,
∴EFCD.
∴EF⊥平面ABC,
∵EF⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面ABC.
(2)过A作AH⊥BE于H,连接HF,
由(1)可得AH⊥平面BEF,
∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角.
在Rt△ABC中,AB=
3
,BC=1,E
为AC中点,
∴∠ABE=30°,
AH=class="stub"1
2
AB=
3
2

在Rt△BCD中,BC=CD=1,
BD=
2

∴在Rt△ABD中,AD=
5

AF=class="stub"1
2
AD=
5
2

∴在Rt△AFH中,sin∠AFH=class="stub"AH
AF
=
15
5

∴AD与平面BEF所成角的正弦值为
15
5

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