如图,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E、F分别是AC、AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)若BE⊥AC

题目简介

如图,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E、F分别是AC、AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;(2)若BE⊥AC

题目详情

如图,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E、F分别是AC、AD上的动点,且
AE
AC
=
AF
AD
=λ(0<λ<1)

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)若BE⊥AC,求证:平面BEF⊥平面ACD.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本小题满分15分)
证明:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,(1分)
360优课网

∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.(4分)
class="stub"AE
AC
=class="stub"AF
AD
=λ(0<λ<1)

∴不论λ为何值,恒有EFCD,(5分)
∴EF⊥平面ABC,又EF在平面BEF内,(7分)
∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(8分)
(2):由(1)知EF⊥平面ABC,∴BE⊥EF,(10分)
又∵BE⊥AC且EF∩AC=E,∴BE⊥平面ACD,(13分)
又BE在平面BEF内,
∴平面BEF⊥平面ACD.(15分)

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