如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE.(1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.-高三

题目简介

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE.(1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.-高三

题目详情

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=
2
AA1
,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)如图所示,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1
又DE⊂平面A1B1C1,所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE.AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1,
又DE⊂平面ADE,故平面ADE⊥平面ACC1A1.

(2)如图所示,设F是AB的中点,连接DF、DC、CF,
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D,
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D,所以A1B1⊥平面C1DF,
而ABA1B1,所以
AB⊥平面C1DF,又AB⊂平面ABC1,故
平面ABC1⊥平面C1DF.
过点D做DH垂直C1F于点H,则DH⊥平面ABC1.
连接AH,则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角.
由已知AB=
2
AA1,不妨设AA1=
2
,则AB=2,DF=
2
,DC1=
3

C1F=
5
,AD=
A
A21
+AD2
=
3
,DH=
DF•DC1
C1F
=
2
×
3
5
=
30
5

所以sin∠HAD=class="stub"DH
AD
=
10
5

即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为
10
5

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