在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,.(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1;(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.-高三数学

题目简介

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,.(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1;(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.-高三数学

题目详情

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,
(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1
(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.
题型:解答题难度:中档来源:江苏期末题

答案

证明:(1)因为∠A1AC=60°,A1A=AC=1,
所以△A1AC为等边三角形,
所以A1C=1,
因为BC=1,A1B=
所以A1C2+BC2=A1B2
所以∠A1CB=90°,即 A1C⊥BC
因为BC⊥A1A,BC⊥A1C,A1A平面ACC1A1,A1C平面ACC1A1,A1A∩A1C=A1,
所以BC⊥平面ACC1A1,
因为BC平面A1BC
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1
(2)连接AC1交A1C于O,连接OD
因为ACC1A1为平行四边形,
所以O为AC1的中点
因为D为AB的中点,
所以OD∥BC1
因为OD平面A1CD,BC1在平面A1CD外
所以BC1∥平面A1CD.

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