如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D、E分别在边BC、B1C1上,CD=B1E=AC,∠ACD=60°.求证:(1)BE∥平面AC1D;(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1.-高三数学

题目简介

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D、E分别在边BC、B1C1上,CD=B1E=AC,∠ACD=60°.求证:(1)BE∥平面AC1D;(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1.-高三数学

题目详情

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点D、E分别在边BC、B1C1上,CD=B1E=AC,∠ACD=60°.求证:
(1)BE∥平面AC1D;
(2)平面ADC1⊥平面BCC1B1
题型:证明题难度:中档来源:江苏期末题

答案

证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴BC∥B1C1,
∵点D、E分别在边BC、B1C1上,CD=B1E,
∴BD=C1E,BD∥C1E,
∴四边形BDC1E是平行四边形,
∴BE∥C1D,
又C1D平面AC1D,BE平面AC1D,
∴BE∥平面AC1D;
(2)由三棱柱ABC﹣A1B1C1中是直三棱柱
得,CC1⊥平面ABC,
∵AD平面ABC,
∴AD⊥CC1,①
在△ACD中,CD= AC,∠ACD=60°,
由余弦定理得:AD= = AC,
∴AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°即AD⊥BC,②
∵BC平面BCC1B1,CC1平面BCC1B1,BC∩CC1=C,③
∴由①②③得:AD⊥平面BCC1B1.
∵AD平面ADC1,
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.

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