如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.-高三数学

题目简介

如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.-高三数学

题目详情

如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.
题型:证明题难度:中档来源:江苏省月考题

答案

证明:(1)取线段PD的中点M,连接FM,AM.
因为F为PC的中点,
所以FM∥CD,且FM=CD.
因为四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,
所以EA∥CD,且EA=CD.
所以FM∥EA,且FM=EA.
所以四边形AEFM为平行四边形.
所以EF∥AM.            
又AM平面PAD,EF平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
(2)设AC,DE相交于G.
在矩形ABCD中,因为AB=BC,E为AB的中点.
所以==
又∠DAE=∠CDA,
所以△DAE∽△CDA,
所以∠ADE=∠DCA.
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,
所以∠DCA+∠CDE=90°.
由△DGC的内角和为180°,得∠DGC=90°.即DE⊥AC.  
因为平面PAC⊥平面ABCD
因为DE平面ABCD,
所以DE⊥平面PAC,
又DE平面PDE,
所以平面PAC⊥平面PDE.

更多内容推荐