已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=5w+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.-数学

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已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=5w+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.-数学

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已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=
5
w
+|w-2|
,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
题型:解答题难度:中档来源:上海

答案

[解法一]∵复数w满足w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,
∴w(1+2i)(1-2i)=(4+3i)(1-2i),
∴5w=10-5i,∴w=2-i.
∴z=class="stub"5
2-i
+|2-i-2|
=
5(2+i)
(2-i)(2+i)
+1
=2+i+1=3+i.
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根
.
z
=3-i

∵z+
.
z
=6,z•
.
z
=10

∴所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.
[解法二]设w=a+b,(a,b∈Z),∴a+bi-4=3i-2ai+2b,
a-4=2b
b=3-2a
解得
a=2
b=-1
,∴w=2-i,
以下解法同[解法一].

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