首页 > 设向量a=(sinα，1-cosα)，b=(sinβ，1+cosβ)，c=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π3，求tan（α-β

设向量a=(sinα，1-cosα)，b=(sinβ，1+cosβ)，c=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π3，求tan（α-β

题目简介

设向量a=(sinα，1-cosα)，b=(sinβ，1+cosβ)，c=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π3，求tan（α-β

题目详情

设向量
a
=(sinα，1-cosα)，
b
=(sinβ，1+cosβ)，
c
=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），若
a
与
c
的夹角为θ1，
b
与
c
的夹角为θ2，且θ1-θ2=
π
3
，求tan（α-β）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵
a
=(sinα，1-cosα)，
b
=(sinβ，1+cosβ)，
c
=(0，1)，角α∈（0，π），β∈（π，2π），
故有 |
a
|=
sin2α+(1-cosα)2
=
2(1-cosα)
=2sinclass="stub"α
2
． |
b
|=
sin2β+(1+cosβ)2
=
2(1+cosβ)
=-2cosclass="stub"β
2
．
又由两个向量的数量积的定义可得
a
•
c
=1-cosα=2sin2class="stub"α
2
，
b
•
c
=1+cosβ=2cos2class="stub"β
2
．
又 |
c
|=1，∴cosθ1=
a
•
c
|
a
|•|
c
|
=sinclass="stub"α
2
，cosθ2=
b
•
c
|
b
|•|
c
|
=-cosclass="stub"β
2
，
即cosθ1=cos(class="stub"π
2
-class="stub"α
2
)，cosθ2=cos(π-class="stub"β
2
)，
∵θ1、θ2∈（0，π），class="stub"π
2
-class="stub"α
2
∈(0，class="stub"π
2
)，π-class="stub"β
2
∈(0，class="stub"π
2
)，
∴θ1=class="stub"π
2
-class="stub"α
2
，θ2=π-class="stub"β
2
．
∵θ1-θ2=class="stub"π
3
，∴(class="stub"π
2
-class="stub"α
2
)-(π-class="stub"β
2
)=class="stub"π
3
，∴class="stub"α-β
2
=-class="stub"5π
6
，
∴tanclass="stub"α-β
2
=tan(-class="stub"5π
6
)=tanclass="stub"π
6
=
3
3
，
∴tan(α-β)=
2tanclass="stub"α-β
2
1-tan2class="stub"α-β
2
=
2×
3
3
1-class="stub"1
3
=
3
．

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