首页 > 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式:3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证:数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式:3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证:数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列

题目简介

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式:3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证:数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列

题目详情

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式:3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求证: 数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和: b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

(1)证明略 (2) bn=1+(n－1)= (3) b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1－ (2n2+3n)
(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.
∴a2=.
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，                                ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t                                ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0 
∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1.
可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列.
于是bn=1+(n－1)=;
(3)由bn=,可知
{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，
于是b2n=,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=－ (b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－ (2n2+3n).

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