首页 > 投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，-高三

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，-高三

题目简介

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，-高三

题目详情

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这三个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意知ξ个正面向上，3-ξ个背面向上．
ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据独立重复试验的概率公式得到变量的分布列，
P(ξ=0)=
C01
(1-class="stub"1
2
)
C02
(1-a)2=class="stub"1
2
(1-a)2，
P(ξ=1)=
C11
•class="stub"1
2
C02
(1-a)2+
C01
(1-class="stub"1
2
)
C12
a(1-a)=class="stub"1
2
(1-a2)，P(ξ=2)=
C11
•class="stub"1
2
C12
a(1-a)+
C01
(1-class="stub"1
2
)
C22
a2=class="stub"1
2
(2a-a2)，
P(ξ=3)=
C11
•class="stub"1
2
C22
a2=
a2
2
．
∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=0×class="stub"1
2
(1-a)2+1×class="stub"1
2
(1-a2)+2×class="stub"1
2
(2a-a2)+3×
a2
2
=class="stub"4a+1
2
．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=class="stub"1
2
[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，
P(ξ=1)-P(ξ=2)=class="stub"1
2
[(1-a2)-(2a-a2)]=class="stub"1-2a
2
，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=class="stub"1
2
[(1-a2)-a2]=
1-2a2
2
．
由
a(1-a)≥0
class="stub"1-2a
2
≥0
1-2a2
2
≥0
和0＜a＜1，
得0＜a≤class="stub"1
2
，
即a的取值范围是(0，class="stub"1
2
]．

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