首页 > 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C-

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C-

题目简介

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C-

题目详情

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S△PBQ=
12
5
时，求PA的长．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴
Sp
Sq
=class="stub"8
6+10
=class="stub"1
2
（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴class="stub"QH
AB
=class="stub"CQ
CB
=class="stub"CH
AC

∴QH=class="stub"6
5
(8-x)，CH=class="stub"8
5
(8-x)
∴PH=CH-CP=class="stub"3
5
（8-x），
∴tan∠QPA=class="stub"QH
PH
=2．（1分）
∵tan∠QCA=class="stub"3
4
，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=class="stub"11
4
，
tan∠QPA•tan∠QCA=class="stub"3
2
，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y2-class="stub"11
4
y+class="stub"3
2
=0即4y2-11y+6=0．（1分）

（2）当S△PBQ=class="stub"12
5
时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S△PBQ=class="stub"1
2
PA•BQ
=class="stub"1
2
x(6-2x)
=class="stub"12
5
，
∴x2-3x+class="stub"12
5
=0，
∵△=9-class="stub"48
5
＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴class="stub"PG
BA
=class="stub"PC
BC
，
∴PG=class="stub"3
5
(8-x)，
∴S△PBQ=class="stub"1
2
QB•PG
=class="stub"1
2
•(2x-6)•class="stub"3
5
(8-x)
=class="stub"12
5
．
∴x2-11x+28=0，
解得：x1=4，x2=7．
∴S△PBQ=class="stub"12
5
时，PA=4或7．（2分）

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