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已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（1）求a2，a3的值（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列（3

题目简介

已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（1）求a2，a3的值（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列（3

题目详情

已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．
（1）求a2，a3的值
（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列
（3）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）a2=﹣ a3=8（2）（3）见解析

试题分析：（1）推出bn的表达式，分别当n=1时，求出a2=﹣；当n=2时，解出a3=8；
（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，利用等比数列的定义，证明{cn}是等比数列；
（3）求出S2n，a2n，S2n﹣1，a2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．
（1）解：由bn=，（n∈N*）可得bn=
又bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，
当n=1时，a1+2a2=﹣1，可得由a1=2，a2=﹣；
当n=2时，2a2+a3=5可得a3=8；
（2）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①
2a2n+a2n+1=22n+1…②
②﹣①，得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1，即：cn=3×22n﹣1，于是
所以{cn}是等比数列．
（3）证明：
a1=2，由（2）知，当k∈N*且k≥2时，
a2k﹣1=a1+（a3﹣a1）+（a5﹣a3）+（a7﹣a5）+…+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）
=2+3（2+23+25+…+22k﹣3）=2+3×=22k﹣1，
故对任意的k∈N*，a2k﹣1=22k﹣1．
由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1，所以k∈N*，
因此，
于是，．
故=
=
所以，对任意的n∈N*，++…++=（+）+…+（+）
=
=
=n﹣
≤n﹣﹣=n﹣（n∈N*）
点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．

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