对任意实数列,定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.(1)求数列的前项和;(2)若,,.①求实数列的通项;②证明:.-高三数学

题目简介

对任意实数列,定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.(1)求数列的前项和;(2)若,,.①求实数列的通项;②证明:.-高三数学

题目详情

对任意实数列,定义它的第项为,假设是首项是公比为的等比数列.
(1)求数列的前项和
(2)若.
①求实数列的通项
②证明:.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1);(2)①;②详见解析.

试题分析:本题以新定义的模式考察了等比数列的通项公式和前n项和以及不等式的放缩法.(1)由是首项是公比为的等比数列,故实数列确定,即,再结合的定义,得,然后求和即可(需分类讨论);(2)由.,可确定,利用累加法可求;和式可看作数列的前n项和,故先求其通项公式,得,因前n项和不易直接求出,故可考虑放缩法,首先看不等式右边,可想到证明每项都小于,由,进而可证明右面不等式,再考虑不等式左边,,因为,故,进而求和可证明.
试题解析:(1)令这里
是公比为的等比数列.

时,,.   2分
时,是公比为,首项为的等比数列;.
.   4分
综上.   6分
(2)①由题设
叠加可得).   8分

.   10分



.   12分

.   13分

更多内容推荐