首页 > 已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）（1）求证：

已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）（1）求证：

题目简介

已知三个函数y=sinx+1，y=x2-2x+2+t，y=12(x+1-tx)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）（1）求证：

题目详情

已知三个函数y=sinx+1，y=
x2-2x+2+t
，y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x＞0)，它们各自的最小值恰好是函数
f（x）=x3+ax2+bx+c的三个零点（其中t是常数，且0＜t＜1）
（1）求证：a2=2b+2
（2）设f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点分别为（x1，m），（x2，n），若|x1-x2|=
6
3
，求f（x）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）三个函数的最小值依次为0，
1+t
，
1-t

由f（0）=0∴c=0
∴f（x）=x（x2+ax+b），故方程x2+ax+b=0的两根是
1+t
，
1-t
1+t
+
1-t
=-a
1+t
•
1-t
=b
，
由(
1+t
+
1-t
)2=(-a)2
∴a2=2b+26
（2）f′（x）=3x2+2ax+b，方程f′（x）=0的两个根为x1，x2
∴x1+x2=-class="stub"2
3
，x1x2=class="stub"b
3
且△＞0得4a2-4•3b＞0，b＜2
由|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(class="stub"-2a
3
)2-4class="stub"b
3
=class="stub"2
3
2-b
=
6
3

∴b=class="stub"1
2
，∴a2=2b+2=3
由
1+t
+
1-t
=-a＞0
 &∴a＜0，
∴a=-
3

∴f(x)=x3-
3
x2+class="stub"1
2

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