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已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性并加以证明；（3）若在上递减，求实数的取值范围．-高一数学

题目简介

已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性并加以证明；（3）若在上递减，求实数的取值范围．-高一数学

题目详情

已知函数

满足：对任意

，都有

成立，且

时，

．
（1）求

的值，并证明：当

时，

；
（2）判断

的单调性并加以证明；
（3）若

在

上递减，求实数

的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）2；（2）函数

在

上是增函数；（3）

试题分析：（1）用赋值法可求得

的值。

，则

，那么

.用赋值法令

中的

，整理出

的关系式，用

表示出

，因为有

的范围所以可求出

的范围。（2）由（1）知

时，

，

，

时，

，所以在R上

。在R上任取两个实数并可设

，根据已知

可用配凑法令

在代入上式找出

的关系。在比较

的大小时，在本题中采用作商法与1比较大小。（3）由（２）知函数

在

上是增函数。当

时

，函数

在

上也是增函数，不合题意故舍。当

时

在

上单调递减，此时只需

的最大值小于等于k即可。
试题解析：（1）令

,则

,
即

,解得

或

若

，令

,则

,
与已知条件矛盾.
所以

设

，则

，那么

.
又

，从而

．
（２）函数

在

上是增函数．
设

，由（１）可知对任意

且

故

，即

函数

在

上是增函数。
（３）

由（２）知函数

在

上是增函数．

函数

在

上也是增函数，
若函数

在

上递减，
则

时，

，
即

时，

．

时，

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