首页 > 已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；

已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；

题目简介

已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；

题目详情

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟

答案

（1）当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)2+(class="stub"2
x
-1)2=（x2+class="stub"4
x2
）-2（x+class="stub"2
x
）+2
令x+class="stub"2
x
=t（t≥2
2
），y=t2-2t-2=（t-1）2-3
∴函数在[2
2
，+∞）上单调增，∴y≥6-4
2

∴f（x）的最小值为6-4
2
；
（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1
f(x)=(class="stub"x
a
-1)2+(class="stub"b
x
-1)2=(class="stub"x
a
+class="stub"b
x
)2-2（class="stub"x
a
+class="stub"b
x
）-class="stub"2b
a
+2
令class="stub"x
a
+class="stub"b
x
=t（t≥2
class="stub"b
a
），则y=t2-2t-class="stub"2b
a
+2
∴函数在[2
class="stub"b
a
，+∞）上单调增，∴y≥2(class="stub"b
a
-2
class="stub"b
a
+1)＞0
∴0≥2m-1
∴m≤0；
（3）因为class="stub"1
2
（a2+b2）≥(class="stub"a+b
2
)2，所以(class="stub"x
a
-1)2+(class="stub"b
x
-1)2＞class="stub"1
2
(class="stub"x
a
+class="stub"b
x
-2)2＞2(
class="stub"b
a
-1)2
当a=k2，b=（k+c）2时，class="stub"b
a
=(1+class="stub"c
k
)2；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，class="stub"b
a
=(1+class="stub"c
k+c
)2
所以f1（x）+f2（x）＞2（class="stub"c
k
）2+2（class="stub"c
k+c
）2）＞
4c2
k(k+c)
（因为0＜a＜b，所以等号取不到）

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