在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,其外接圆的半径R=5636,则(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)的最小值为______.-数学

题目简介

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,其外接圆的半径R=5636,则(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)的最小值为______.-数学

题目详情

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,其外接圆的半径R=
5
6
36
,则(a2+b2+c2)(
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
)
的最小值为 ______.
题型:填空题难度:中档来源:江门模拟

答案

由正弦定理可知class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=2R
∴sinA=class="stub"a
2R
,sinB=class="stub"b
2R
,sinC=class="stub"c
2R

(a2+b2+c2)(class="stub"1
sin2A
+class="stub"1
sin2B
+class="stub"1
sin2C
)

=4R2(a2+b2+c2)(class="stub"1
a2
+class="stub"1
b2
 +class="stub"1
c2

=4R2(3+
a2
b2
+
b2
a2
+
a2
c2
+
c2
a2
+
c2
b2
+
b2
c2
)≥4R2(3+2+2+2)=class="stub"25
6
(当且仅当a=b=c时等号成立).
故答案为:class="stub"25
6

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