首页 > 如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．（-数学

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．（-数学

题目简介

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．（-数学

题目详情

如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=
1
x
的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是______；
（2）按照图1→图2→图→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是______．（用含n的代数式表示）
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

（1）作PA⊥y轴于A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴class="stub"CE
OB
=class="stub"DE
OC
，class="stub"CE
AP
=class="stub"DE
AB
，
∴class="stub"OB
OC
=class="stub"AP
AB
=class="stub"CE
ED
=class="stub"a
a
=1，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=OC，
∴OB=class="stub"a
2
，
在Rt△ABP中，PB=2a，
∵AB2+AP2=BP2=4a2，AB=AP，
∴AB=AP=class="stub"2
2
a，
∴OA=class="stub"3a
2
，
∴P点坐标为（class="stub"2a
2
，class="stub"3a
2
），
∴class="stub"2a
2
•class="stub"3a
2
=1，
∴a2=class="stub"1
3
；

（2）如图2，同样得到Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴class="stub"CE
OB
=class="stub"DE
OC
，class="stub"CE
AP
=class="stub"DE
AB
，
∴class="stub"OB
OC
=class="stub"AP
AB
=class="stub"CE
ED
=class="stub"2a
a
=2，
在RtOBC中，BC=a，
∵OB2+OC2=BC2=a2，OB=2OC，
∴OB=class="stub"2a
5
，
在Rt△ABP中，PB=3a，
∵AB2+AP2=BP2=9a2，AB=2AP，
∴AB=class="stub"3a
5
，AP=class="stub"6a
5

∴OA=class="stub"5a
5
，
∴P点坐标为（class="stub"6a
5
，class="stub"5a
5
），
∴class="stub"6a
5
•class="stub"5a
5
=1，
∴a2=class="stub"5
30
；
如图3，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴class="stub"CE
OB
=class="stub"DE
OC
，class="stub"CE
AP
=class="stub"DE
AB
，
∴class="stub"OB
OC
=class="stub"AP
AB
=class="stub"CE
ED
=class="stub"3a
a
=3，
同理可得a2=class="stub"10
84
；
如图4，易证得Rt△ECD∽Rt△OBC∽Rt△APB，
∴class="stub"CE
OB
=class="stub"DE
OC
，class="stub"CE
AP
=class="stub"DE
AB
，
∴class="stub"OB
OC
=class="stub"AP
AB
=class="stub"CE
ED
=class="stub"4a
a
=4，
同理可得a2=class="stub"17
180
；
∵第1个图每一个小正方形的面积=class="stub"1
3
=class="stub"2
2×3
=
12+1
1×(1+1)×(2+1)
；
第2个图每一个小正方形的面积=class="stub"5
30
=class="stub"5
6×5
=
22+1
2×(2+1)×(2×2+1)
；
第3个图每一个小正方形的面积=class="stub"10
12×7
=
32+1
3×(3+1)(2×3+1)
；
第4个图每一个小正方形的面积=class="stub"17
180
=class="stub"17
4×5×9
=
42+1
4×(4+1)(2×4+1)
，
∴第n个图每一个小正方形的面积=
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．
故答案为（1）class="stub"1
3
；（2）
n2+1
n(n+1)(2n+1)
．

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